☛ Équation du premier degré

Énoncé

Résoudre les équations suivantes.
1. \(5x-1=x-9\)
2. \(2x + 4 = 4x - 3\)
3. \(7x - 7=4x - 5\)

Solution

Résoudre une équation revient à trouver les solutions qui rendent vraie l'égalité. Une équation du premier degré admet au maximum une solution.
Isolons les inconnues dans le membre de gauche de l'égalité et les constantes numériques dans le membre de droite de l'égalité.

1. On veut résoudre l'équation :\(\begin{array}{rcl}4x-1 & = & x-8 \end{array}\)
Les équations suivantes seront équivalentes.
Pour équilibrer l'équation, nous allons soustraire `x` des deux côtés de l'égalité.                 
\(\begin{array}{rcl}4x-1\color{red} {-x} & = & x-8 \color{red} {-x} \end{array}\)
On obtient alors :   
\(\begin{array}{rcl}3x-1& = & -8\end{array}\)   
Maintenant, nous allons nous occuper des constantes numériques : nous allons ajouter 1 à chaque membre de l'égalité.
\(\begin{array}{rcl}3x-1\color{blue} {+1} & = & -8 \color{blue} {+1} \end{array}\)
On obtient alors :
\(\begin{array}{rcl}3x& = & -7 \end{array}\)
Il ne nous reste plus qu'à diviser les deux membres de l'égalité par 3.
\(\begin{array}{rcl}\\\dfrac{3x}{\color{green}3} & = & \dfrac{-7}{\color{green}3} \\x & = & -\dfrac{7}{3}\end{array}\)
\(\)La solution de l'équation est \(-\dfrac{7}{3}\) .

2. On résout l'équation \(2x + 4 = 4x - 3\).
Voici une résolution détaillée.
 \(\)
\(\begin{array}{rclcrcl}&2x+4 & = & 4x-3 \\\text{équivaut à}& 2x+4 \color{red} {-4x} & = & 4x-3 \color{red} {-4x} \\\text{équivaut à}& -2x+4 & = & -3 \\\text{équivaut à}& -2x+4 \color{blue}{-4} & = & -3 \color{blue}{-4} \\\text{équivaut à}&-2x & = & -7 \\\text{équivaut à}&\dfrac{-2x}{\color{green}{-2}} & = & \dfrac{-7}{\color{green}{-2}} \\\text{équivaut à}&x & = & \dfrac{7}{2}\end{array}\)
La solution de l'équation est \(\dfrac{7}{2}\).

 3. On résout l'équation
\(\begin{array}{rclcrcl}&7x-7 & = & 4x-5 \\\text{équivaut à}& 7x\color{red} {-4x} & = & -5 \color{blue}{+7}\\\text{équivaut à}& 3x & = & 2 \\\text{équivaut à}& x & = & \dfrac{2}{\color{green}3} \end{array}\)
La solution de l'équation est \(\dfrac{2}{3}\).